En que horas exactas se unen la horaria y la minutera

Por hora exacta entiendo que quieres decir que se ha de precisar las horas, minutos y segundos transcurridos.

A partir de la posición que corresponde a las 12 horas exactas, en que las agujas horaria y minutera coinciden, tenemos, suponiendo que tanto la aguja horaria como la minutera son segmentos sin anchura, que

a) La circunferencia tiene 3600" (segundos) de arco

b) En segundos de arco, la aguja horaria avanza 1/12 segundos de arco por segundo. Necesita 12 horas (=12*3600 segundos) para recorrer 3600" de arco, es decir la circunferencia completa.

c) La aguja minutera avanza t mod(3600)" por segundo. Aquí mod indica módulo. Puesto que la minutera vuelve a cerrar el círculo, hay que hallar el resto de dividir por 3600.

El planteo será pues, después de la hora h, transcurridos s segundos desde entonces:

(h*3600 + s)/12 = (h*3600 +s) mod(3600) = s --->

s = h*3600/11, que traduciremos a minutos y segundos, sin olvidarnos de añadir la hora h. Así:

1) Después de 1 hora s segundos:

(3600 + s) / 12 = (3600 + s) mod(3600) = s --->

300 = (11/12) s ---> s = (3600/11) segundos = (5*60+ 300/11) segs =

= 5 minutos + 300/11 segs = 5 minutos 27,2727... segundos

2) Después de 2 horas s segundos

(2*3600 + s)/12 = (2*3600 +s) mod(3600) = s --->

s = 7200/11 = 600 + 600/11 segs = 10 minutos 54,5454... segundos

3) Después de 3 horas s segundos

s = 10800/11 = 60*16+240/11 segs = 16 minutos 21,818181... segundos

4) Después de 4 horas s segundos

s = 14400/11 = 60*21+540/11 segs = 21 minutos 49,090909... segundos

5) Después de 5 horas s segundos

s = 18000/11 = 60*27+100/11 segs = 27 minutos 9,090909... segundos

6) Después de 6 horas s segundos

s = 21600/11 = 60*32 +480/11 segs = 32 minutos 43,636363... segundos.

7) Después de 7 horas s segundos

s = 25200/11 = 60*38 +120/11 segs = 38 minutos 10,90909... segundos.

8) Después de 8 horas s segundos

s = 28800/11 = 60*43 + 420/11 segs = 43 minutos 38,18181 ... segundos.

9) Después de 9 horas s segundos

s = 32400/11 = 60*49 + 60/11 segs = 49 minutos 5,454545 ... segundos.

10) Después de 10 horas s segundos

s = 36000/11 = 60*54 + 360/11 segs = 54 minutos 32,727272 ... segundos.

Vemos que, como es de esperar, la minutera tarda cada vez más (una vez cumplida la hora correspondiente) en coincidir con la aguja horaria.

Una bonita comprobación final consiste en calcular cuándo se produce la coincidencia después de las 11 horas. Tenemos como siempre

11) Después de 11 horas s segundos

(11*3600 + s)/12 = (6*3600 +s) mod(3600) = s --->

s = (11*3600)/11 = 60*60 segs = 60 minutos exactos, lo que significa que después de las 11 horas la coincidencia se produce una hora después, es decir a las 12 h exactas, como ya sabemos.

Espero que te ayude. Un saludo.